我们先用直线插补来说明。在数字积分法的介绍中已经知道，一个函数的定积分可以用矩形公式求和来近似计算。

如果已知一条直线的方程为        

                                                   （2－37）

式中，为直线的终点坐标。

对上式求微分得                      

如果引入时间变量，分别对被积函数和进行积分就得到数字积分法的直线插补。我们现在不这样做，而是设法用比较判别的方法来建立两个积分的联系。先将上式改写为              

 用矩形公式来求积就得到      

或                                             （2-38）

      图2-32 脉冲分配序列

此式表明，方向每发一个进给脉冲，相当于积分值增加一个量；方向每发一个进给脉冲，积分值增加一个量，为了得到直线，必须使两个积分相等。

根据式（2-38），我们在时间轴上分别作出x轴和y轴的脉冲序列，如图2-32所示。把时间间隔作为积分增量，轴上每隔一段时间发出一个脉冲，就得到一个时间间隔 ；y轴上每隔一段时间 发出一个脉冲，就得到一个时间间隔 。在 轴发出 个脉冲后，其总时间间隔为式（2-38）的左边，即     

同样，如果轴上发出了个脉冲，其总的时间间隔为积分式（2-38）的右边，即

由公式（2-38）可知，要实现直线插补，必须始终保持上述两个积分式相等。为此，与逐点比较法相似，我们引入一个判别函数，所不同的是，这个判别函数定义为轴脉冲总时间间隔与轴脉冲总时间间隔之差。用表示为

                           （2-39）

用一个脉冲源控制运算速度，每发一个脉冲，计算一次的值，根据的正负决定下次脉冲应如何进给。即当>0时，说明轴输出脉冲时间超前（即多发出），这时应控制轴进行的累加；若<0，则说明轴输出脉冲时间超前（即多发了），这时应控制轴进行的累加；依次进行下去即可实现直线插补。这里，我们通过将两个积分式相比较的办法来实现插补的，所以称为比较积分法。