１． 直线插补

图４－１８为第一象限直线，现分析其插补规律。

刀尖从点Ｎi-1移动到点Ｎi，沿轮廓直线方向的增量为ＤＬ＝Ｆ×Ｔs，沿Ｘ向的增量为ＤＸ，沿Ｙ向的增量为ＤＹ，它们之间的关系是：

ＤＸ＝ＤＬ×Ｘe／Ｌ，ＤＹ＝ＤＬ×Ｙe／Ｌ

其中，Ｌ为轮廓直线的长度，它满足等式：Ｌ²＝Ｘe²+Ｙe²

Ｎi点的动态坐标可以用前一个点的坐标动态表示：Ｘ＝Ｘ＋ＤＸ，Ｙ＝Ｙ＋ＤＹ

由此，可设计第一象限数据采样直线插补软件流程图，见图４－１９。

２． 圆弧插补

数据采样法圆弧插补的基本思路是在满足加工精度的前提下，用切线、弦线或割线来代替圆弧实现进给，即用直线逼近圆弧。

（1）切线法（一阶ＤＤＡ算法）

　　图4-20为第一象限逆圆，现分析其切线法插补规律。

　　设当前点在Ni－1，按切线方向前进一个粗插补周期后到达Ｎi点，走过的粗插补

单位长度为  Ｌ＝Ｆ×Ｔs，其中：Ｆ为进给速度，粗插补周期为Ｔs。

 

图４-20　切线法逆圆插补示意图     　　　图４-21切线法圆弧插补流程图

显然，Ｘi－1＝Ｒcosψi－1　　　（Ｒ为圆弧半径）

　　　　Ｙi－1＝Ｒsinψi－1

　　　　Ｘi＝Ｒcos（ψi－1＋θ）

Ｙi＝Ｒsin（ψi－1＋θ）

从而

　　　Ｘi＝Ｘi－1cosθ－Ｙi－1 sinθ

　　　Ｙi＝Ｙi－1cosθ＋Ｘi－1 sinθ

因θ很小，所以

sinθ＝θ－θ³/3!＋θ⁵/5!－……

　　　cosθ＝1－θ²/２!＋θ⁴/４!－……

取一阶近似（一阶ＤＤＡ名称的由来），得

　　　sinθ＝θ＝Ｆ×Ｔs／Ｒ＝Ｋ

　　　cosθ＝1

因此

　　　Ｘi＝Ｘi－1－ＫＹi－1

Ｙi＝Ｙi－1＋ＫＸi－1

　　Ｘi＝Ｘi－Ｘi－1＝－ＫＹi－1

　　Ｙi＝Ｙi－Ｙi－1＝ＫＸi－1

　　　由此，可设计第一象限切线法数据采样圆弧插补软件流程图，见图４－２１。

本法与脉冲增量方式ＤＤＡ插补在本质上是相同的，前者是后者的推广。由于误差太大（可以在随后的实验中验证），在实际的CNC系统中并不使用。

（2）弦线法（直接函数算法）

图4-22为第一象限顺圆，弦线法插补规律（请参考有关书籍自行分析）如下：

Ⅰ区：

　　　∆Ｘi＝（Ｙi－1＋∆Ｙi－1×０.５）×ＦＴs／Ｒ

　　　∆Ｙi＝－Ｙi－1＋（Ｒ²－（Ｘi－１＋∆Ｘi）²）^1/2

　　 Ｘi＝Ｘi－１＋∆Ｘi

Ｙi＝Ｙi－１＋∆Ｙi

Ⅱ区：

　　　∆Ｙi＝（Ｘi－1＋∆Ｘi－1×０.５）×ＦＴs／Ｒ

　　　∆Ｘi＝－Ｘi－1＋（Ｒ²－（Ｙi－１＋∆Ｙi）²）^1/2

　　 Ｘi＝Ｘi－１＋∆Ｘi

Ｙi＝Ｙi－１＋∆Ｙi

Ⅲ区：

　　　∆Ｘi＝（Ｙi－1＋∆Ｙi－1×０.５）×ＦＴs／Ｒ

　　　∆Ｙi＝－Ｙi－1—（Ｒ²－（Ｘi－１＋∆Ｘi）²）^1/2

　　 Ｘi＝Ｘi－１＋∆Ｘi

Ｙi＝Ｙi－１＋∆Ｙi

Ⅳ区：

　　　∆Ｙi＝（Ｘi－1＋∆Ｘi－1×０.５）×ＦＴs／Ｒ

　　　∆Ｘi＝－Ｘi－1－（Ｒ²－（Ｙi－１＋∆Ｙi）²）^1/2

　　  Ｘi＝Ｘi－１＋∆Ｘi

Ｙi＝Ｙi－１＋∆Ｙi

     

图４-22　弦线法顺圆插补示意图     　　 图4-23　分区图

分区情况见图４－２３。由此，不难得到其流程图４-２４。

弦线法的精度比切线法高。

（3）割线法（二阶ＤＤＡ算法）

一阶算法时曾得到：sinθ＝θ－θ³/3!＋θ⁵/5!－……

　　　                    cosθ＝1－θ^２/２!＋θ⁴/４!－……

我们现在取两阶近似，即为二阶ＤＤＡ算法：

　　sinθ＝θ－θ³/3!≈θ

cosθ＝1－θ^２/２!≈１－０.５×θ²

图4-25逆圆第一象限插补时，可计算得到：

　∆Ｘi＝Ｋ×Ｙi－1－０.５×Ｘi－1Ｋ²

∆Ｙi＝－Ｋ×Ｘi－1－０.５×Ｙi－1Ｋ²

Ｘi＝Ｘi－１＋∆Ｘi

Ｙi＝Ｙi－１＋∆Ｙi

按此编制程序流程图4-26。割线法的精度比弦线法高。

图４-24　弦线法圆弧插补流程图

 

图４-25　割线法逆圆插补示意图           图４-26　割线法圆弧插补流程图