如上所述，偏差计算是逐点比较法关键的一步。下面以第Ⅰ象限直线为例导出其偏差计算公式。

图2-1  直线插补过程

如图2—1所示，假定直线 的起点为坐标原点，终点A的坐标为 为加工点，若P点正好处在直线 上，那么下式成立：

  若任意点 在直线 的上方（严格地说，在直线 与y轴所成夹角区域内），那么有下述关系成立：

亦即:                         

由此可以取偏差判别函数 为：

 

由 的数值（称为“偏差”）就可以判别出P点与直线的相对位置。即：

当 =0时，点 正好落在直线上；

当 >0时，点 落在直线的上方；

当 <0时，点 落在直线的下方。

从图2—1看出，对于起点在原点，终点为A（ ）的第Ⅰ象限直线OA来说，当点P在直线上方（即 >0）时，应该向+x方向发一个脉冲，使机床刀具向+x方向前进一步，以接近该直线；当点P在直线下方（即 <0）时，应该向+y方向发一个脉冲，使机床刀具向+y方向前进一步，趋向该直线；当点P正好在直线上（即 =0）时，既可向+x方向发一脉冲，也可向+y方向发一脉冲。因此通常将 >0和 =0归于一类，即 ≥0。这样从坐标原点开始，走一步，算一次，判别 ，再趋向直线，逐点接近直线 ，步步前进。当两个方向所走的步数和终点坐标A（ ）值相等时，发出终点到达信号，停止插补。

对于图2—1的加工直线OA，我们运用上述法则，根据偏差判别函数值，就可以获得如图中折线段那样的近似直线。

但是按照上述法则进行 的运算时，要作乘法和减法运算，这对于计算过程以及具体电路实现起来都不很方便。对于计算机而言，这样会影响速度；对于专用控制机而言，会增加硬件设备。因此应简化运算，通常采用的是迭代法，或称递推法，即每走一步后新加工点的加工偏差值用前一点的加工偏差递推出来。下面推导该递推式：

已经知道，加工点的坐标为（ ）时的偏差为：

若 ≥0时，则向x轴发出一进给脉冲，刀具从这点即（ ）点向x方向前进一步，到达新加工点P（ ）， ，因此新加工点P（ ）的偏差值为

即:                                                                                                (2-1)

如果某一时刻，加工点P（ ）的 <0，则向y轴发出一个进给脉冲，刀具从这一点向y方向前进一步，新加工点P（ ）的偏差值为

  即:  

                                                      (2-2)

 

  根据式（2—1）及式（2—2）可以看出，新加工点的偏差完全可以用前一加工点的偏差递推出来。

综上所述，逐点比较法的直线插补过程为每走一步要进行以下4个节拍（步骤），即判别、进给、运算、比较。

（1） 判别。根据偏差值确定刀具位置是在直线的上方（或线上），还是在直线的下方。

（2） 进给。根据判别的结果，决定控制哪个坐标（x或y）移动一步。

（3） 运算。计算出刀具移动后的新偏差，提供给下一步作判别依据。根据式（2—1）及式（2—2）来计算新加工点的偏差，使运算大大简化。但是每一新加工点的偏差是由前一点偏差 推算出来的，并且一直递推下去，这样就要知道开始加工时那一点的偏差是多少。当开始加工时，我们是以人工方式将刀具移到加工起点，即所谓“对刀”，这一点当然没有偏差，所以开始加工点的 =0。

（4） 比较。在计算偏差的同时，还要进行一次终点比较，以确定是否到达了终点。若已经到达，就不再进行运算，并发出停机或转换新程序段的信号。

下面以实例来验证图2—1。设欲加工直线OA，其终点坐标为 =5*, =3*，则终点判别值可取为 （终点判别方法详见下述）。开始时偏差 ，加工过程的运算节拍如表2—1所示。

     

  图2-2  逐点比较法直线插补过程

                       表2-1   逐点比较法直线插补运算举例