数控加工中把除直线与圆弧之外可以用数学方程式y=f（x）表达的平面轮廓曲线，称为非圆曲线，例如抛物线、渐开线等。如果数控装置不具备这类曲线的插补功能时，其数学处理就比较复杂，应在满足允许的编程误差条件下，用若干直线段或圆弧段去逼近给定的非圆曲线，相邻逼近线段的交点或切点称为节点。图1（a）为用直线段逼近非圆曲线的情况，图1（b）为用圆弧段逼近非圆曲线的情况。逼近处理时，应注意逼近线段与理论曲线的误差d应小于或等于编程允许误差d_允，即d£ d_允，d_允一般取零件公差的1/5~1/10。

　

（a） （b）

图1 非圆曲线的逼近

1．用直线段逼近非圆曲线时节点的计算

用直线段逼近非圆曲线时可以采用弦线逼近、割线逼近和切线逼近法，其中割线逼近法逼近误差较小；弦线逼近法由于节点落在曲线上，计算较为简单。弦线逼近中计算节点的方法主要有等间距法、等步长法和等误差法。下面介绍其中的等步长法和等误差法。

（1）等步长法

用直线段逼近非圆曲线时，如果每个逼近线段长度相等，则称等步长法。如图2所示，零件轮廓曲线y=f（x）的曲率半径各处不等，曲率半径最小处逼近误差最大，因此首先应求出该曲线的最小曲率半径R_min，由R_min及d_允确定允许的步长l，然后从曲线起点a开始，按等步长l依次截取曲线，得到b、c、d等节点，则ab=bc=…=l即为所求各直线段。计算步骤如下：

图2 等步长法

1）求最小曲率半径R_min 设曲线为y=f（x），则其曲率半径公式为

（2-2）

对上式x求一次导数，有

（2-3）

令

得

 （2-4）

根据y=f（x）依次求出y¢、y¢¢ 、y¢¢¢，代入（2-4）求x，再将x代入式（2-2）即可求得最小曲率半径R_min。

2）计算允许步长l 以R_min为半径作圆弧，令d_max=d_允，则由几何关系可知

3）以起点a（x_a，y_a）为圆心，以l为半径作圆，得到圆方程，与曲线方程y=f（x）联立求解，可得第一个节点的坐标（x_b，y_b），再以b 点为圆心，以l为半径作圆，联立求解方程组得到第二个节点，以此类推求出所有节点。

可求得

可求出

……

（2）等误差法

  用直线段逼近非圆曲线时，如果每个逼近误差相等，则称等误差法。如图3所示，设零件的轮廓方程为y=f（x），首先以起点a为圆心，以d_允为半径作圆。然后作该圆和已知曲线公切线，切点分别为P（x_P，y_P），T（x_T，y_T），并求出此切线的斜率。接着过点a作PT的平行线交曲线于b点，b点即为求得的第一个节点。再以b点为起点用上法相同方法求得第二个节点c点，依次类推，即可求出曲线上其余节点。计算步骤如下：

图3 等误差法

1）以起点a为圆心，d_允为半径作圆，得到圆方程

2）求圆与曲线公切线PT的斜率 首先联立求解以下方程组得切点坐标（x_T，y_T）、（x_P，x_P ）

然后由切点坐标求出斜率

3）过a点与直线PT平行的直线方程为

4）与曲线方程联立求解得b点坐标

5）按以上步骤顺次求得c、d、… 各节点坐标

用等步长法逼近曲线时，求得的l是最小曲率半径处的步长，由于曲线各处曲率不一，因此逼近的线段较多；等误差法由于各逼近线段误差均相等，为允许的插补误差，因此程序段数目较少，但计算过程比较复杂。

2．用圆弧段逼近非圆曲线时节点的计算

用圆弧段逼近非圆曲线的方法有曲率圆法、三点圆法、相切圆法、双圆弧法等。

曲率圆法是用彼此相交的圆弧逼近非圆曲线。其基本原理是：从曲线的起点开始作与曲线内切的曲率圆，求出曲率圆的中心，再以曲率圆中心为圆心，以曲率圆半径加（减）d_允为半径，所作的圆（偏差圆）与曲线y=f（x）的交点为下一个节点，并重新计算曲率圆中心，使曲率圆通过相邻两节点。重复以上计算即可求出所有节点坐标及圆弧的圆心坐标。

三点圆法是在已求出的各节点基础上，通过连续三点作圆弧，求出圆心坐标和圆的半径。

相切圆法是过曲线上A、B、C、D点作曲线的法线（如图4所示），分别交于M、N点，并分别以点M、N为圆心，AM、ND为半径作圆M和N圆，使圆M和圆N相切于K点。为了使两段圆弧相切，必须满足

（2-5）

两圆弧段与曲线逼近误差的最大值，应满足

（2-6）

（2-7）

由以上条件确定的B、C、D三点可保证：M、N圆相切条件；d_允条件；M、N圆弧在A、D点分别与曲线相切条件。

确定B、C、D点后，再以D点为起点，确定E、F、G点，依次进行。每次可求得两段彼此相切的圆弧，由于在前一个圆弧的起点处与后一个圆弧终点处均可保证与轮廓曲线相切，因此，整条曲线是由一系列彼此相切的逼近圆弧组成。

双圆弧法是指在两相邻的节点间用两段相切的圆弧逼近曲线的方法。如图5所示，在曲线y=f（x）上任取两节点P_i（x_i，y_i）、P_i+1（x_i+1，y_i+1）。过P_i点与P_i+1点分别作曲线的切线m_i、m_i+1，并与直线P_iP_i+1组成一个三角形D P_i P_i+1G。取D P_i P_i+1G的内心T作为两个圆弧相切的切点位置。过T作的垂线，与过点所作的垂线交于，与过点所作的垂线交于O_i+1。以O_i点为圆心，O_iP_i为半径作圆弧P_iT；以O_i+1为圆心，O_i+1P_i+1为半径作另一圆弧TP_i+1，这两段圆弧均能切于T（原因请读者思考）。这就实现了曲线上相邻两节点间的双圆弧拟合。通过误差计算，可求出逼近圆弧段与非圆曲线的最大误差，与编程允差进行比较，调整曲线上点的位置，可使实际误差小于等于编程允许误差。下面给出圆心坐标、切点坐标、半径的计算过程。

采用双圆弧法逼近非圆曲线，双圆弧中各几何元素间的关系是在局部坐标系下计算完成的。如图6所示，取相邻节点连线为局部坐标系的U_i轴，U_i轴的垂线为V_i轴。过P_i的圆弧切线与P_i P_i+1的夹角为q_i ，过P_i+1的圆弧切线与P_i P_i+1的夹角为q_{i +1}。用表示与两点之间的距离，则

图4 相切圆法圆弧段逼近 图5 双圆弧法逼近非圆曲线

图6 双圆弧坐标位置的确定

在中，根据正弦定理可得

可求得切点坐标为

圆心O_i，O_i+1的坐标分别为

设两圆弧的半径分别为R_i、R_i+1，则

局部坐标系中的坐标求得后，还要换算成整体坐标系下的坐标，换算关系为（参见图5）

圆心坐标按同样的方法转换。